「数とは何か?」への答え いろいろな数がつくられるしくみ 数は量の比

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金沢大学教育学部教科教育研究 no.26 (1990,7), pp.143-162.

算数・数学科教材研究──数の定式化

宮　下　　英　明

目　　　次 1 数の定式化の方法 2 数の自己完結的定式化 2.1 自然数の系 2.1.1 条件規定の方法によるの定義──“ペアノの公理” 2.1.2 “ペアノの公理”の読み方 2.1.3 の構成的定義 2.1.3.1 “入れ篭型の自然数系列” 2.1.3.2 自由半群からの“自然数の系”の導出 2.1.4 カテゴリカルな公理系 2.1.5 順序関係の導入 2.1.6 加法の導入 2.1.7 乗法の導入 2.1.8 の構造 2.2 数の拡張 2.3 “数の系” 2.3.1 “数の系”であるための資格 2.3.2 数の系の構造 2.4 R 2.4.1 Rの定義 2.4.2 順序関係の導入 2.4.3 加法の導入 2.4.4 乗法の導入 2.4.5 Rの構造 2.4.6 Rの中へのの埋め込み 2.4.7 “自然数の除法” 2.4.8 “アルキメデスの公理” 2.5 D（＝整数の系） 2.5.1 D の定義 2.5.2 順序関係の導入 2.5.3 加法の導入 2.5.4 乗法の導入 2.5.5 D の構造 2.5.6 D の中へのの埋め込み 2.5.7 “自然数の減法” 2.5.8 乗法の解釈 2.6 (D)R（＝有理数の系） 2.6.1 (D)Rの定義 2.6.2 順序関係の導入 2.6.3 加法の導入 2.6.4 乗法の導入 2.6.5 (D)Rの構造 2.6.6 (D)Rの中へのD の埋め込み 2.7 (R)D 2.7.1 (R)Dの定義 2.7.2 (R)Dの中へのRの埋め込み 2.7.3 (R)Dと(D)Rの同型性 2.8 “閉じた”拡張 2.8.1 ((R)RとRの同型性 2.8.2 (D)DとDの同型性 2.8.3 (((R)D)RとRDの同型性 2.8.4 ((D)R)DとRDの同型性 3 量に随伴する数 1 3.1 数の契機としての量 3.2 “量”の概念の領分 3.3 “量”の一般的形式 3.4 “量”に対する三つの二分法 3.5 内算法＋が定義されている場合 3.5.1 （Ｑ,≦,＋）の条件 3.5.2 “数の系”としての（Ｑ,≦,＋） 3.5.3 “数の系”の構成としての（Ｑ,≦,＋）の構成 3.5.4 離散量からの稠密量の構成と，稠密量からの離散量の導出 3.5.5 “比”の系 3.5.6 系（(Ｑ,≦,＋),(N,≦,＋,×),×） 3.5.7 “差”の系 3.5.8 系（(Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(N,≦,＋,×),×),＋） 3.6 内算法＋が定義されていない場合 3.6.1 （Ｑ,≦）の条件 3.6.2 “差”の系 3.6.2.1 （Ｑ,≦）が離散の場合 3.6.2.2 （Ｑ,≦）が稠密の場合 3.6.3 系（(Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(DR,≦,＋,×),×),＋） 3.7 量の一般形((Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(DR,≦,＋,×),×),＋）

1 数の定式化の方法
　数の定式化の仕方として，ここでは，一つに，《対象を明示的に構成する》と《条件で対象を規定する》のタイプ分けを考え，そしてもう一つに，《それ自体で完結しているものとして定式化する》と《量に随伴するもの(量の“係数")として定式化する》のタイプ分けを考えることにする。このとき，数の定式化は，４通りに考えられる：

	構成	条件規定
自己完結
量に随伴

2 数の自己完結的定式化

2.1 自然数の系

2.1.1 条件規定の方法によるの定義──“ペアノの公理”
　自然数の系は，日常言語の中の“系列”の数学化である。実際，自然数の系の定義は，そのまま“系列”の定義である。
　自然数の系は,“ペアノ^(註))の公理”という形で定義される。



自然数の系は，先ず，集合と，の一つの要素１と関数ｆ:─→の組 （,1,ｆ） である。そしてこれについて，以下のことが成立している： 1° ｆ(ｘ)＝１となるの要素ｘは存在しない； 2° の要素ｘ,ｙについてｆ(ｘ)＝ｆ(ｙ)ならばｘ＝ｙ； 3° の部分集合′は，つぎの条件を満たすとき，実はと一致している： １が′の要素になっている； ｘが′の要素のとき，ｆ(ｘ)も′の要素．


　どうしてこれが“系列”の数学化になっているのか。つぎに，このことを見ていくとしよう。

（註） Peano,G.：1858-1932

2.1.2 “ペアノの公理”の読み方
　先ず,“系列”の図式

に対し，これの項全体の集合が集合である。そして先頭の項が１である。ｆは，各項にその直後の項(“後者(successor)")を対応させる関数である。
　ｆが対応一般（一つの要素に複数の要素が対応することを許す）ではなく，一意対応（一つの要素に一つの要素が，しかもただ一つの要素が，対応する）としての関数であるという点は，本質的である。“系列”の図式は，

のように枝分かれするものではない。この枝分れを禁止するのが，ｆが一意対応であるという条件である。
　“何の後でもない”が“先頭”の意味である。そこで，条件1°によって，１を先頭として定義している。
　しかしここで，先頭が一つに限るのかどうかが，心配になる。
　他にも先頭があったとしよう。このとき，別々の先頭から出発する列は先でつながることはない。というのも，条件2°によって

の形が禁止されているからである。そこで可能性として残るのは，が互いに独立した複数の系列で成るという状態である。しかしこの状態は，条件3°によって禁止されている。実際，

のように′をとると，′は3°の中の′の条件を満たしているから′＝でなければならない。結局，は一本の系列でなければならないことになる。
　また条件2°は，系列がどこかで終わる状態

を禁止することにも効いている。実際，

とすると，これはｘ＝ｆ(ｙ) かつｘ＝ｆ(ｘ) の場合である。ところがこのときには，条件2°よりｘ＝ｙでなければならず，ｘ≠ｙに反する。
　条件３°は,“数学的帰納法の公理”と呼ばれる。実際，命題関数Ｐ(ｘ）に対する命題
“すべての自然数ｘに対しＰ(ｘ)は真”
は，′＝｛ｘ│ｘかつＰ(ｘ）｝とおいたときの命題

“′＝”

と同じ。そしてこれを条件３°を適用して証明するとき，条件３°を“数学的帰納法の公理”として用いたということになる。
　いま，整数ｎ≧0^(註1)に対し，ｆⁿ：─→ を

ｆn ＝		ｆのｎ回の合成　（ｎ＞0）
		恒等関数　　　　（ｎ＝0）

で定義するとしよう。このとき，ｆⁿ(1)（ｎ≧0）の全体がである^(註2)。
　そしてこのとき，生活実践の中の“1",“2",“3",････に対して,“ｆ⁰(1),ｆ¹(1),ｆ²(1),････の名”という解釈が，改めて立つことになる。

（註１） ここでの“整数ｎ≧0”は，目下自然数を論じているところの言語(“メタ言語")に属する。したがって，後で，自然数の拡張としての整数が登場するが，循環論法ではない。
（註２） 条件３°の直接の適用。

2.1.3 の構成的定義

2.1.3.1 “入れ篭型の自然数系列”
　集合論に依るとき，数の構成は自然数の構成から始めることができる。
　即ち，集合論の対象φ(“空集合")から系列：

{φ},{φ,{φ}},{φ,{φ},{φ,{φ}}},････

を構成し，この項の集合を，最初の項を１とする。そして写像ｆ:─→を，各項にその後の項を対応させるものとして定義する。
　組（，1，ｆ）は，確かにペアノの公理を満たしている。
　この系列では各項が後の項の要素になっているが，このことを指して“入れ篭型の自然数系列”という言い方がされる。またこの場合，ｎ番目の項になる集合は，ｎ個の要素からなっている。

2.1.3.2 自由半群からの“自然数の系”の導出
　Ｑを，対象Ｕで生成される自由半群──算法を＋で表わす──とする。
　各ＸＱに対し，Ｘ＋ＵをＸの“後者”と定めるとき，Ｑはペアノの公理を満たす。さらに，＋は,“自然数の系”としてのＱにおいて定義される加法＋(後述(§2.1.6)）と一致する。

2.1.4 カテゴリカルな公理系
　われわれは自然数を，色々あるものとしてではなく，ただ一つのものとして意識している。したがって，ペアノの公理による“自然数の定義”が真に自然数の定義になっているためには，それによって自然数が一意に定まるのでなければならない。
　ここで“ただ一つ”とは,“同型の意味でただ一つ”ということである。
　自然数の系の同型は，つぎのように定義する。即ち，ペアノの公理を満たす二つの系（,1,ｆ）と（,1,ｆ）が同型であるとは，との間の１対１対応ｈ:─→で条件：

1°	ｈ(1) ＝ 1
2°	つぎの図式は可換：

を満たすものが存在すること^(註))。そして実際，このようなｈは存在する──かつ

ｈ(fⁿ(1)) ＝ fⁿ(1)

で定義されるものに限る。
　一般に，ある公理系で定義されるところのものが“同型の意味で一つだけ”であるとき，その公理系は“カテゴリカル”であると言われる。ペアノの公理系は，カテゴリカルな公理系の一つの例になっている。

（註） “コピーｈ:（,1,ｆ）─→（,1,ｆ）”の概念の定式化は，このようになる。

2.1.5 順序関係の導入
　ｘ,ｙの間の関係ｘ≦ｙを，ある整数ｎ≧0 に対してｆn（ｘ)＝ｙとなることと定義する。また，ｘ＜ｙを，ｘ≦ｙかつｘ≠ｙのことと定義する。
　≦は，の上の順序関係──実際には，全順序関係──になる^(註))。
　なお,“入れ篭型”の自然数系列では，
ｘ＜ｙ ｘｙ
である。

（註） 順序関係とは，以下の条件で定義される関係≦のこと：
1°ｘ≦ｘ　　　　　　　　　（反射法則);
2°ｘ≦ｙかつｙ≦ｘならばｘ＝ｙ
　　　　　　　　　　　　　　（反対称法則);
3°ｘ≦ｙかつｙ≦ｚならばｘ≦ｚ
　　　　　　　　　　　　　　（推移法則).
さらに，条件
4°任意のｘ,ｙに対し,ｘ≦ｙあるいはｙ≦ｘ
　　　　　　　　　　　　　　（比較可能）
が加わった順序関係は，特に全順序関係，あるいは線形順序関係，と呼ばれる。
　の要素に対してここで定義した≦が全順序関係であることの証明は，つぎのようになる（証明の中の“＋”や“−”は，証明の言語(“メタ言語")に属する)：
　ｆ0（ｘ)＝ｘより，ｘ≦ｘ。
　ｆm（ｘ)＝ｙかつｆn（ｙ)＝ｘのとき，ｆm+n（ｘ)＝ｘ。もしｍ＋ｎ≠0 であれば，ｆ1(ｘ),････,ｆm+m(ｘ)＝ｘのどれかが１。しかしこのときには，ｆ（ｗ)＝１となるの要素ｗが存在することになり，の条件１°に反する。したがって，ｍ＋ｎ＝0，即ちｍ＝ｎ＝0。結局，ｘ＝ｙ。
　ｆm（ｘ)＝ｙかつｆn（ｙ)＝ｚのとき，ｆm+n（ｘ)＝ｚ，よって，ｘ≦ｚ。
　はｆn(1)（ｎ≧0）の全体と一致する。一方ｍ≦ｎのとき，ｆn-m(ｆm(1))＝ｆn(1) より，，ｆm(1)≦ｆn(1)。

2.1.6 加法の導入
　生活実践の中の自然数の加法は，つぎのような形に数学化される：
1°ｘ＋1＝ｆ(ｘ)；
2°ｘ＋(ｙ＋1)＝(ｘ＋ｙ)＋1
　　（言い換えると，ｘ＋f(ｙ)＝f(ｘ＋ｙ)）．
　このとき，例えば 4＋3 の計算はつぎのようになる：
4＋3＝4＋(2＋1)＝(4＋2)＋1
＝(4＋(1＋1))＋1＝((4＋1)＋1)＋1
＝(5＋1)＋1＝6＋1＝7
（あるいは，＝4＋f(2)＝f(4＋2)＝f(4＋f(1))＝f(f(4＋1))＝f(f(f(4)))＝f(f(5))=f(6)＝7）
　加法＋は，順序関係≦とつぎのように関係している：《ｘ≦ｙであるためには，ｘ＋ｚ＝ｙとなるｚの存在することが必要十分》

2.1.7 乗法の導入
　生活実践の中の自然数の乗法は，自然数の累加である。への乗法の導入も，これと正確に対応する形でなされる。
　即ち，つぎのように内算法×(“乗法")が定義される：
1°ｘ×1＝ｘ；
2°ｘ×(ｙ＋1)＝ｘ×ｙ＋ｘ．
　このとき，例えば 4×3 の計算はつぎのようになる：
4×3＝4×(2＋1)＝(4×2)＋4
＝(4×(1＋1))＋4＝((4×1)＋4)＋4
＝(4＋4)＋4＝8＋4＝12

2.1.8 の構造
　は，＋，×のそれぞれについて可換半群をなし，＋と×の間には分配法則が成り立つ。
　は，≦と＋に関して順序半群になる。即ち，ｍ，ｎ，ｐについてつぎの関係が成り立つ：
ｍ≦ｎ ｍ＋ｐ≦ｎ＋ｐ．
また，≦と＋の間には，
ｍ＜ｎ （ｍ＋ｐ＝ｎとなるｐが存在する)
が成り立つ。
　半群は｛1｝から生成される。特にの順序位相は離散である。

2.2 数の拡張
　数学では，数概念を，自然数から出発する“数の構成”という形をとって，
自然数 ─→ 整数 ─→ 有理数
　　　 ─→ 実数 ─→ 複素数
のように拡張する。このときの自然数の定義，自然数以下の“数の構成”は，見掛けは全く形式的な処理のようになっているが，少なくとも有理数がゴールの場合には，生活実践において数の機能を拡張するやり方と，きちんと対応している。
　生活実践での数の機能拡張は，二つの目的でなされる。一つは，量の比(倍)の表現とそれを計算にのせることであり，そしてもう一つは，量の差の表現とそれを計算にのせることである。
　この拡張に“数の構成”を直接対応させるとき，それは

　　　　　　　　　　　　　(_R)R

　　　　　　　　_R

　　　　　　　　　　　　　(_R)_D

　　

　　　　　　　　　　　　　(_D)<sub>R

　　　　　　　　D</sub>

　　　　　　　　　　　　　(_D)D

のようになる筈である。ここでは自然数の系を表わし，(　)R は“比”の表現に対応する数拡張，(　)D は“差”の表現に対応する数拡張を表わすものとする（Ｒは比“Ratio”の‘Ｒ’，Ｄは差“Difference”の‘Ｄ’のつもり)。
　この拡張は無限に続くことになるが，結論を先に言えば，(_R)R は_R と，(_D)D は_D と，(_R)_D は(_D)_R と，((_R)_D)R は(_R)_Dと，そして((_D)_R)D は(_R)_D と，それぞれ同一視できることになり，結局この拡張は

　　　　　　　　<sub>R

　　　　　　　　　　　DR

　　　　　　　　D</sub>

のように閉じることになる──ここで，_RD は(_R)_D（＝(_D)_R）を表わすものとする。そして，_D が整数の系，_RD が有理数の系ということになる。
　_R についての言い回しは“正の有理数の系”ということになる。しかし，有理数_RDが_Rの後に出て来るものであること，_Rが整数の_Dと並ぶ身分であること，そして_Rが算数科教材では“分数”として独立した主題を成していることを考えれば，本来，これにも何か一つの名を与え，見掛けともども独立の系として確立しておくべきであろう。

2.3 “数の系”

2.3.1 “数の系”であるための資格
　“数(の系)の拡張”の主題化は,“数の系”の規準の主題化を含んでいる。実際,“数の系”の規準がなければ,“数(の系)の拡張”を言うことはできない。
　“数の拡張”の合理化の仕方の一つに,“形式不易の原理"(Hankel^(註)))がある。そしてこの場合,“数の系”の規準が,“形式不易の原理”の言い回しの中に現われているところの“形式”として，与えられる。それは，つぎのようになる：
1°ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ
2°（ａ＋ｂ)＋ｃ＝ａ＋(ｂ＋ｃ）
3°ａ×ｂ＝ｂ×ａ
4°（ａ×ｂ)×ｃ＝ａ×(ｂ×ｃ）
5°ａ×(ｂ＋ｃ)＝ａ×ｂ＋ａ×ｃ

　はこの意味での数の系になっている。
　またこの意味では，例えば，(後述)の部分�悳0} にの構造の制限を考えたものも，数の系ということになる。

（註） 19世紀末のドイツの数学史家。

2.3.2 数の系の構造
　“数の拡張”

　　　　　<sub>R

　　　　　　　DR</sub>(“") ─→─ ─→─

　　　　　_D(“")

では，数の系の構造が拡張されることになる。
　数の系Ｅの構造は，≦で定義される構造（順序構造）および＋，×のそれぞれで定義される構造（代数的構造）の組合せで，色々に考えられる。
　どのような構造を考えているかを，ここでは(Ｅ，≦)，(Ｅ，＋，×)，(Ｅ，≦，＋）のような表記によって表わすとしよう。

2.4 _R

2.4.1 _Rの定義
　_R に対応する生活実践は，量の比の処理である。
　比の表現“自然数：自然数”では，同じ比に対して異なる表現が可能である。しかし同時に，《ｍ：ｎとｍ′:ｎ′が同じ比の表現であるためには，ｍ×ｎ′＝ｍ′×ｎ′であることが必要十分》のきまりがある。
　“比”の数学化は，この
“先ず《比》，そして《比を表現する自然数の対》，さらに《同じ比を表現する自然数の対の間に成立するきまり》”
の順序を逆立ちさせる。即ち，《同値な表現のきまり》で自然数の対を類別し，このときの類全体の集合として(“比の集合")_R を定義する。詳しく言うと，以下のようになる。
　に対し，これの積集合×（自然数の対全体の集合）をとる。×の要素の間の関係〜を
　　(ｍ,ｎ）〜（ｍ′,ｎ′)
　　　　　　ｍ×ｎ′＝ｍ′×ｎ
で定義するとき，〜は×の上の同値関係（の類別を実現する関係)^(註1)になっている。×を〜で類別して得られる類の集合を_Rと定義する。
　×を座標平面の形に表現された─×─の部分とみなすとき，つぎのように並ぶ点の各類が，_R の要素になる：

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　_R の要素ｘはの要素の対の類であるが，この類に対（ｍ,ｎ）が属するとき，ｍとｎの名“ｍ",“ｎ"^(註2)を用いてｘを“ｍ:ｎ”あるいは
　　　　　　ｎ
“ｎ／ｍ",“─”と表現する。
　　　　　　ｍ

（註１） 一般に，集合Ｘの上の同値関係〜とは，つぎの条件を満たす二項関係のこと：
　1°　ｘ〜ｘ
　2°　ｘ〜ｙ ｙ〜ｘ
　3°　ｘ〜ｙかつｙ〜ｚ ｘ〜ｚ
（註２） 厳密には，このように，〈記述の上で存在を表現している記号〉と〈この存在の名〉を，区別しなければならない。

2.4.2 順序関係の導入
　ｘ,ｙ_R に対し，ｘ＝s/r，ｙ＝t/r となるｒ,ｓ,ｔが存在する。このとき，ｘ≦ｙ をｓ≦ｔで定義する。── ｘ,ｙを上のように表現したときの条件ｓ≦ｔは，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していない^(註))から，この定義は意味をもつ。
　≦は，_R の上の全順序関係になっている。また，_Rは≦に関して稠密である。

（註） ｘ＝s/r＝s'/r'，ｙ＝t/r＝t'/r'のとき，(ｓ×ｔ′)×(ｒ×ｒ′)＝(ｓ×ｒ′)×(ｔ′×ｒ)＝(ｒ×ｓ′)×(ｔ×ｒ′)＝(ｓ′×ｔ)×(ｒ×ｒ′)，よってｓ×ｔ′＝ｓ′×ｔ。したがって，ｓ≦ｔとｓ′≦ｔは同値。

2.4.3 加法の導入
　ｘ,ｙ_R に対し，ｘ＝s/r，ｙ＝t/r となるｒ,ｓ,ｔが存在する。このとき，
　　　　ｓ＋ｔ
ｘ＋ｙ＝ ───
　　　　　　ｒ　　
と定義する。── ｘ,ｙを上のように表現したときの s+t/r _R は，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していない^(註))から，この定義は意味をもつ。

（註） ｘ＝s/r＝s'/r'，ｙ＝t/r＝t'/r'のとき，(ｓ＋ｔ)×ｒ′＝(ｓ×ｒ′)＋(ｔ×ｒ′)＝(ｒ×ｓ′)×(ｒ×ｔ′)＝ｒ×(ｓ′＋ｔ′)，よって，s+t/r＝s'+t'/r'。

2.4.4 乗法の導入
　ｘ,ｙ_R に対し，
　　 ｓ　　　　　 ｒ
ｘ＝ ─　　　ｙ＝ ─
　　 ｒ　　　　　 ｔ
となるｒ,ｓ,ｔが存在する。このとき，
　　　　ｓ
ｘ×ｙ＝ ─
　　　　ｔ
と定義する。── ｘ,ｙを上のように表現したときの s/t _R は，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していないから，この定義は意味をもつ。

2.4.5 _Rの構造
　_R は＋について可換半群，×について可換群をなし，＋と×の間には分配法則が成り立つ──特に，_R は導入した＋，×に関して“数の系"(§2.3.1）になっている。
　ｘ_R の×に関する逆元をｘ-1で表わす。
　_Rは，≦と＋に関して順序半群になる。即ち，ｘ，ｙ，ｚ_Rについてつぎの関係が成り立つ：
ｘ≦ｙ ｘ＋ｚ≦ｙ＋ｚ．

2.4.6 _Rの中へのの埋め込み
　写像ｉ：─→_R を
　　　　　ｎ　　　　　　　
ｉ(ｎ) ＝ ─　　（ｎ）
　　　　　１　　　　　　　
で定義するとき,ｉは１対１で，
ｍ≦ｎ ｉ(ｍ)≦ｉ(ｎ)
ｉ(ｍ＋ｎ)＝ｉ(ｍ)＋ｉ(ｎ)
ｉ(ｍ×ｎ)＝ｉ(ｍ)×ｉ(ｎ)
が成り立つ。そこでこのｉによって，(,≦,＋,×）を（_R,≦,＋,×）の部分（ｉ(_R),≦,＋,×）と同一視できることになる。言い換えると,ｉによって，(,≦,＋,×）は（_R,≦,＋,×）に埋め込まれる。またこの意味で，_Rはの拡張である。
　ｎの表記を,ｉ(ｎ)_R の表記に流用する。
　このとき，１は_R の単位元。また，ｎに対し
ｎ＝ｎ／1，　ｎ-1＝1／ｎ

2.4.7 “自然数の除法”
　_R においては，任意のｍ,ｎ─_R に対し，ｍ×ｘ＝ｎとなるｘが存在し，実際ｘ＝ｎ／ｍである^(註))。
　において，ｍ×ｐ＝ｎとなるｐをｎ／ｍ(“ｎ÷ｍ")で表わす。このときのｎ／ｍは常には定義されない。しかし定義されるときには，の_R への埋め込みにおいて，_R の要素ｎ／ｍ──（ｍ,ｎ）の類として定義されるところのｎ／ｍ──と一致することになる。
　以上の意味で,“の_R への拡張は，自然数同士の除法をいつも可能であるようにする拡張”という言い方がされることがある。

（註） 定義より，
　　　ｎ 　 ｍ　ｎ 　 ｎ×ｍ　　ｎ
　ｍ×─ ＝ ─×─ ＝ ─── ＝ ─ ＝ｎ
　　　ｍ 　 １　ｍ 　 １×ｍ　　１

2.4.8 “アルキメデスの公理”
　“アルキメデスの公理"と呼ばれるつぎのこと(“塵も積もれば山となる")が成り立つ：
任意のｘ,ｙ_R に対し，ｘ×ｎ＞ｙとなるｎが存在する．

2.5 _D（＝整数の系）

2.5.1 _D の定義
　_D に対応する生活実践は，量の差の処理である。
　差の表現“自然数−自然数”では，同じ差に対して異なる表現が可能である。しかし同時に，《ｍ−ｍとｎ′−ｍ′が同じ差の表現であるためには，ｍ＋ｎ′＝ｍ′＋ｎ′であることが必要十分》のきまりがある。
　差の数学化は，この
“先ず《差》，そして《差を表現する自然数の対》，さらに《同じ差を表現する自然数の対の間に成立するきまり》”
の順序を逆立ちさせる。即ち，《同値な表現のきまり》で自然数の対を類別し，このときの類全体の集合として(“差の集合")_D を定義する。詳しく言うと，以下のようになる。
　に対し，これの積集合×（自然数の対全体の集合）をとる。×の要素の間の関係〜を
　　(ｍ,ｎ）〜（ｍ′,ｎ′)
　　　　　　ｍ＋ｎ′＝ｍ′＋ｎ
で定義するとき，〜は×の上の同値関係（の類別を実現する関係）になっている。×を〜で類別して得られる類の集合を_D と定義する。
　×を座標平面の形に表現された─×─の部分とみなすとき，つぎのように並ぶ点の各類が，_D の要素になる：

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　_D の要素ｘはの要素の対の類であるが，この類に対（ｍ,ｎ）が属するとき，ｘを（ここでは）ｍとｎの名“ｍ",“ｎ"を用いて“ｎ−ｍ”と表現する。
　ｎに対する類ｎ−ｎを,“０"で表わす。

2.5.2 順序関係の導入
　ｘ,ｙ_D に対し，ｘ＝ｓ−ｒ，ｙ＝ｔ−ｒとなるｒ,ｓ,ｔが存在する^(註1)。このとき，ｘ≦ｙ をｓ≦ｔで定義する。── ｘ,ｙを上のように表現したときの条件ｓ≦ｔは，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していない^(註2)から，この定義は意味をもつ。
　≦は，_D の上の全順序関係になっている。
　＞０である元を正元，＜０である元を負元と呼ぶ。
　ｍ,ｎに対し，
ｍ＜ｎ ｎ−ｍ＞０
ｍ＝ｎ ｎ−ｍ＝０
ｍ＞ｎ ｎ−ｍ＜０
が成り立つ。

（註１） ｐ，ｐ，ｑ，ｑ′に対し，ｑ−ｐ＝(ｑ＋ｐ′)−(ｐ＋ｐ′），ｑ′−ｐ′＝(ｐ＋ｑ′)−(ｐ＋ｐ′）。
（註２） ｘ＝ｓ−ｒ＝ｓ′−ｒ′,ｙ＝ｔ−ｒ＝ｔ′−ｒ′のとき，(ｓ＋ｔ′)＋(ｒ＋ｒ′)＝(ｓ＋ｒ′)＋(ｔ′＋ｒ)＝(ｒ＋ｓ′)＋(ｔ＋ｒ′)＝(ｓ′＋ｔ)＋(ｒ＋ｒ′)，よってｓ＋ｔ′＝ｓ′＋ｔ。したがって，ｓ≦ｔとｓ′≦ｔ′は同値。

2.5.3 加法の導入
　ｘ,ｙ_D に対し，ｘ＝ｒ−ｓ，ｙ＝ｔ−ｒとなるｒ,ｓ,ｔが存在する。このとき，ｘ＋ｙ＝ｔ−ｓ．
と定義する。── ｘ,ｙを上のように表現したときの ｔ−ｓ_D は，ｒ,ｓ,ｔの取り方に依存していない^(註1)から，この定義は意味をもつ。
　特に，
(ｎ−ｍ)＋(ｑ−ｐ)＝(ｎ＋ｑ)−(ｍ＋ｐ)
が成り立つ^(註2)。──最初からこれを，＋の定義にしてもよい。

（註１） ｘ＝ｒ−ｓ＝ｒ′−ｓ′,ｙ＝ｔ−ｒ＝ｔ′−ｒ′のとき，(ｓ＋ｔ′)＋(ｒ＋ｒ′)＝(ｓ＋ｒ′)＋(ｒ＋ｔ′)＝(ｒ＋ｓ′)＋(ｔ＋ｒ′)＝(ｓ′＋ｔ)＋(ｒ＋ｒ′)，よって，ｓ＋ｔ′＝ｓ′＋ｔ。
（註２） 実際，ｎ−ｍ＝(ｎ＋ｑ)−(ｍ＋ｑ)，ｑ−ｐ＝(ｍ＋ｑ)−(ｍ＋ｐ)。

2.5.4 乗法の導入
　ｎ−ｍ，ｑ−ｐ_D に対し，
　　(ｎ−ｍ)×(ｑ−ｐ)
　　＝(ｍ×ｐ＋ｎ×ｑ)−(ｍ×ｑ＋ｎ×ｐ)
と定義する。(ｍ×ｐ＋ｎ×ｑ)−(ｍ×ｑ＋ｎ×ｐ)は_D の要素ｎ−ｍ，ｑ−ｐの表現に依存していないから，この定義は意味をもつ。

2.5.5 _D の構造
　_D は×について可換半群をなし，＋について可換群をなす──特に，_D は，導入した＋，×に関して“数の系”になっている。
　０はここで定義した加法＋の零元になる。また，ｎ−ｍとｍ−ｎは，互いに他の対称元（＋に関する逆元）になる。ｘ_D に対し，ｘの対称元を−ｘと書く。
　ｘ_D が正元であることと，−ｘが負元であることとは，同値。また特に，以下のことが成り立つ^(註1)：
(1) (−ｘ)＋(−ｙ)＝−(ｘ＋ｙ）
(2) (−ｘ)×ｙ＝ｘ×(−ｙ)＝−(ｘ×ｙ）
(3) (−ｘ)×(−ｙ)＝ｘ×ｙ
　_Dは，≦と＋に関して，順序群になっている。即ち，ｘ，ｙ，ｚ_Dについてつぎの関係が成り立つ^(註2)：
ｘ≦ｙ ｘ＋ｚ≦ｙ＋ｚ．
　_Dの順序位相は離散である。

（註１） (1) ((−ｘ)＋(−ｙ))＋(ｘ＋ｙ)＝((−ｘ)＋ｘ)＋((−ｙ)＋ｙ)＝０＋０＝０。
(2) ((−ｘ)×ｙ))＋(ｘ×ｙ)＝((−ｘ)＋ｘ)×ｙ＝０×ｙ＝０。（ｘ×(−ｙ))＋(ｘ×ｙ)＝ｘ×((−ｙ)＋ｙ)＝ｘ×ｙ＝０。
(3) (2)より，(−ｘ)×(−ｙ)＝−((−ｘ)×ｙ)＝−(−(ｘ×ｙ))＝ｘ×ｙ。
（註２） ｘ＝ｎ−ｍ，ｙ＝ｎ′−ｍ,ｚ＝ｑ−ｐとすると，ｘ＋ｚ＝(ｎ＋ｑ)−(ｍ＋ｐ），ｙ＋ｚ＝(ｎ′＋ｑ)−(ｍ＋ｐ）。ｘ≦ｙのときｎ≦ｎ′で，これよりｎ＋ｑ≦ｎ′＋ｑ。よって，ｘ＋ｚ≦ｙ＋ｚ。

2.5.6 _D の中へのの埋め込み
　写像ｉ：─→_D を
ｉ(ｎ) ＝ (ｎ＋ｎ)−ｎ　（ｎ）
で定義するとき,ｉは１対１で，
ｍ≦ｎ ｉ(ｍ)≦ｉ(ｎ)
ｉ(ｍ＋ｎ)＝ｉ(ｍ)＋ｉ(ｎ)
ｉ(ｍ×ｎ)＝ｉ(ｍ)×ｉ(ｎ)
が成り立つ^(註1)。そこでこのｉによって，(,≦,＋,×）を（_D,≦,＋,×）の部分（ｉ(),≦,＋,×）と同一視できることになる。言い換えると,ｉによって，(,≦,＋,×）は（_D,≦,＋,×）に埋め込まれる。またこの意味で，_D はの拡張である。
　ｉ()は，_D の正元全体と一致する^(註2)。
　ｎの表記を,ｉ(ｎ)_D の表記に流用する。したがって，_D の負元は，あるｎに対する‘−ｎ’で表現されることになる。
　このとき，ｍ,ｎについて，
ｎ−ｍ＝ｎ＋(−ｍ)^(註3)
　また，群_Dは｛1,−1｝から生成される^(註4)。

（註１） (1) ｉ(ｎ)＝ｉ(ｍ），即ち，（ｎ＋ｎ)−ｎ＝(ｍ＋ｍ)−ｍのとき，（ｎ＋ｎ)＋ｍ＝ｎ＋(ｍ＋ｍ）で，これよりｎ＝ｍ。よって，ｉは１対１。
(2) ｍ≦ｎのとき，ｉ(ｍ)＝(ｍ＋ｍ)−ｍ＝(ｍ＋ｍ＋ｎ)−(ｍ＋ｎ）≦（ｎ＋ｎ＋ｍ)−(ｍ＋ｎ)＝(ｎ＋ｎ)−ｎ＝ｉ(ｎ)。
(3) ｉ(ｍ＋ｎ)＝((ｍ＋ｎ)＋(ｍ＋ｎ）)−(ｍ＋ｎ)＝((ｍ＋ｍ)−ｍ)＋(ｎ＋ｎ)−ｎ)＝ｉ(ｍ)＋ｉ(ｎ)。
(4) ｉ(ｍ×ｎ)＝(ｍ×ｎ＋ｍ×ｎ)−ｍ×ｎ＝(ｍ×ｎ＋ｍ×ｎ＋ｍ×ｎ＋ｍ×ｎ＋ｍ×ｎ)−(ｍ×ｎ＋ｍ×ｎ＋ｍ×ｎ＋ｍ×ｎ)＝((ｍ＋ｍ)×(ｎ×ｎ)＋ｍ×ｎ)−(（ｍ＋ｍ)×ｎ＋ｍ×(ｎ＋ｎ))＝((ｍ＋ｍ)−ｍ)×(（ｎ＋ｎ)−ｎ)＝ｉ(ｍ)×ｉ(ｎ)。
（註２） ｎに対し，ｉ(ｎ)＝(ｎ＋ｎ)−ｎ＞ｎ−ｎ＝０。また，_Dの正元はｍ＜ｎであるｍ，ｎに対するｎ−ｍの形に書けるが，ｍ＋ｋ＝ｎとするときｎ＋ｋ＝ｍ＋(ｋ＋ｋ）で，これよりｎ−ｍ＝(ｋ＋ｋ)−ｋ。
（註３） ｎ＋(−ｍ)＝((ｎ＋ｎ)−ｎ)＋(ｍ−(ｍ＋ｍ))＝(ｎ＋ｎ＋ｍ)−(ｎ＋ｍ＋ｍ)＝ｎ−ｍ。
（註４） ｘ，ｙで，ｘを1のｍ回の累加，ｙを1のｎ回の累加，そしてｍ＜ｎとする。
　(1) ｙ−ｘは（1＋1)−1（＝1_D）のｎ−ｍ回の累加に等しい。
　実際，1の（ｎ−ｍ＋1)回の累加ｚに対しｙ−ｘ＝ｚ−1。ｎ−ｍ＝1のときは，ｚ＝1＋1で，よってｙ−ｘ＝ｚ−1＝(1＋1)−1。そしてこれは，(1＋1)−1のｎ−ｍ(＝1)回の累加。ｎ−ｍ＞1のとき，ｗを1の（ｎ−ｍ−1)回の累加とすると，ｚ−1＝(ｚ＋ｗ)−(1＋ｗ)の右辺は(1＋1)−1のｎ−ｍ回の累加。
　(2) ｘ−ｙはｙ−ｘの対称元で，そしてｙ−ｘは，(1)の結果から，1−(1＋1)(＝−1）のｎ−ｍ回の累加の対称元に等しい。よって，ｘ−ｙは，1−(1＋1）のｎ−ｍ回の累加。

2.5.7 “自然数の減法”
　_D においては，任意のｍ,ｎ─_D に対し，ｍ＋ｘ＝ｎとなるｘが存在し，実際ｘ＝ｎ−ｍである^(註1)。
　において，ｍ＋ｐ＝ｎとなるｐをｎ−ｍで表わす^(註2)。このときのｎ−ｍは常には定義されない。しかし定義されるときには，の_D への埋め込みにおいて，_D の要素ｎ−ｍ──（ｍ,ｎ）の類として定義されるところのｎ−ｍ──と一致することになる。
　以上の意味で,“の_D への拡張は，自然数同士の減法をいつも可能であるようにする拡張”という言い方がされることがある。

（註１） ｍ＋(ｎ−ｍ)＝((ｍ＋ｍ)−ｍ)＋(ｎ−ｍ)＝(ｎ＋ｍ＋ｍ)−(ｍ＋ｍ)＝(ｎ＋ｎ＋ｍ＋ｍ)−(ｎ＋ｍ＋ｍ)＝(ｎ＋ｎ)−ｎ＝ｎ。
（註２） この段階で，記号‘−’は三通りに使われている：
(1) _D の要素の表現“ｎ−ｍ”
(2) _D の要素ｘの対称元の表現“−ｘ”
(3) においてｍ＋ｐ＝ｎであるときの，ｐに対する表現“ｎ−ｍ”
　同一の記号を異なる意味に混用することは，
学習者にとって混乱とつまづきのもととなるが，強いて混用するのは，形式的操作(“計算")の便利のためである。

2.5.8 乗法の解釈
　乗法の解釈は“累加(倍)の合成”である。
　の_D の拡張に応じて，に対しての累加の概念が拡張される。
　即ち，ｎに対し，_D での“ｎ回の累加”はでの“ｎ回の累加”と同じ。そして“(−ｎ)回の累加”の意味は,“ｘ_Dに対する(−ｎ)回の累加”が“ｘの対称元−ｘのｎ回の累加”と定義されるところのもの。

2.6 (_D)_R（＝有理数の系）

2.6.1 (_D)_Rの定義
　から_R を導出したのと殆ど同じやり方で，_D から(_D)_R を導出する。
　即ち，_D から０を除いた集合を_D*とするとき，_D*×_Dの要素の間の関係〜を
　　(ｘ,ｙ)〜(ｘ′,ｙ′)
　　　　　　ｘ×ｙ′＝ｘ′×ｙ
で定義するとき，〜は_D*×_Dの上の同値関係になっている。_D*×_D を〜で類別して得られる類の集合を(_D)_R と定義する
　（ｘ,ｙ)_D*×_D が属する類を,“ｙ／
　　　　　　　ｙ
ｘ”あるいは“─”と表現する。
　　　　　　　ｘ
　_D*×_D を座標平面の形に表現された─×─の部分とみなすとき，つぎのように並ぶ点の各類が，(_D)_R の要素になる：

　　　・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・ ・
　　　・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・ ・
　　　・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・ ・
　　　・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・ ・
　　　・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・ ・
　 ──────┼─────────
　　　・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・ ・
　　　・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・ ・



2.6.2 順序関係の導入
　ｘ,ｙ(_D)_R に対し，ｘ＝s/r，ｙ＝t/r となるｒ，ｓ,ｔ_D が存在する。このとき，ｘ≦ｙ をｓ≦ｔで定義する。
　≦は，(_D)_R の上の全順序関係になっている。また，(_D)_Rは≦に関して稠密である。

2.6.3 加法の導入
　ｘ,ｙ(_D)_R に対し，ｘ＝s/r，ｙ＝t/r となるｒ,ｓ,ｔ_D が存在する。このとき，ｘ＋ｙ＝ s+t/r と定義する。

2.6.4 乗法の導入
　ｘ,ｙ(_D)_R に対し，ｘ＝s/r，ｙ＝r/t となるｒ,ｓ,ｔ_D が存在する。このとき，ｘ×ｙ＝s/t と定義する。

2.6.5 (_D)_Rの構造
　(_D)_R は＋，×について可換体をなす──特に，_D は，導入した＋，×に関して“数の系”になっている。
　(_D)_Rは，≦と＋に関して順序体になる。即ち，ｘ，ｙ，ｚ(_D)_Rについてつぎの関係が成り立つ：
ｘ＜ｙ ｘ＋ｚ＜ｙ＋ｚ，
ｘ＜ｙかつｚ＞０ ｘ×ｚ＜ｙ×ｚ．

2.6.6 (_D)_Rの中への_D の埋め込み
　ｉ(ｎ)＝n/1 で定義される写像ｉ：_D─→(_D)_R は，((_D)_R,≦,＋,×）の中への（_D,≦,＋,×）の埋め込みになる。またこの意味で，(_D)_R は_D の拡張である。
　ｎ_D の表記を,ｉ(ｎ)(_D)_R の表記に流用する。

2.7 (_R)_D

2.7.1 (_R)_Dの定義
　（,≦,＋,×）から（_D,≦,＋,×）を導出したのと全く同じやり方で，(_R,≦,＋,×）から（(_R)_D,≦,＋,×）を導出する。
　(_R)_Dの要素は_R×_R の要素の類である。（ｘ,ｙ)_R×_R が属する類を“ｙ−ｘ”で表わす。
　_R×_Rを座標平面の形に表現された─×─の部分とみなすとき，つぎのような傾き１の直線（の部分）の各々が，(_R)_D の要素になる：

　　　│
　　　│
　　　│
　　　│
　　　──────
　　　│　　　　│
　　　┼────�ﾖ───────
　　　│　　　　　
　　　│
　　　│
　　　│


2.7.2 (_R)_Dの中への_Rの埋め込み
　写像ｉ：_R─→(_R)_D；ｘ─→（ｘ＋ｘ)−ｘ は，（_R,≦,＋,×）の（(_R)_D,≦,＋,×）の中への埋め込みであり，かつｉ(_R）は(_R)_Dの正元全体と一致する^(註))。

（註） 証明は，§2.5.6の（註１），（註２）に同じ。

2.7.3 (_R)_Dと(_D)_Rの同型性

　　q　　n　　 (m×q)−(n×p)
ｉ(─ − ─)＝ ───────
　　p　　m　　　　　m×p　　　
（右辺のm×pは，m×p─_Dと見る)
で定義される写像ｉ:(_R)_D ─→(_D)_R は，((_R)_D,≦,＋,×）の（(_D)_R,≦,＋,×）の上への同型になっている^(註))。即ち，(_R,≦,＋,×）からの（(_R)_D,≦,＋,×）の導出と，(_D,≦,＋,×）からの（(_D)_R,≦,＋,×）の導出では，実質的に同じ対象がつくられる。

（註） これの逆同型は，
　 q−p　　q　　 p　
ｊ(──)＝ ─ − ─
　　n　　　n　　 n　
（左辺のnは，n─_Dと見る)
で定義される写像ｊ:(_D)_R ─→(_R)_D。
　証明することは，以下のことである：
(1) ｊ＝ｉ-1 ；
(2) ｘ≦ｙ ｉ(ｘ)≦ｉ(ｙ)
ｉ(ｘ＋ｙ)＝ｉ(ｘ)＋ｉ(ｙ)
ｉ(ｘ×ｙ)＝ｉ(ｘ)×ｉ(ｙ)
　(1)の証明：
　　n 　q　　　 np−mq　　np　mq　　n　 q
j(i(─−─))＝j(───)＝ ─−─ ＝ ─−─
　　m 　p　　　　 mp　　　mp　mp　　m　 p
（mp─_D）
　　q−p　　　q　 p　　 qn−np
i(j(──))＝i(─−─)＝ ───
　　 n　　　　n　 n　　　 nn
　　 (q−p)n　　 q−p
　＝ ──── ＝ ──（n─_D）
　　　 nn　　　　 n
よって，j─i，i─jは，それぞれ(_R)_D，(_D)_R の恒等写像。
　(2)の証明：
　ここでは，i(ｘ＋ｙ)＝i(ｘ)＋i(ｙ) だけを示すとしよう。
　 n　 q　　 n'　q'　　　 n　 n'　　q　 q'
i((─−─)＋(─−─))＝i((─＋─)−(─＋─))
m p m' p' m m' p p'
　　nm'＋mn'　　qp'＋pq'
＝i(──── − ────)
　　　 mm'　　　　 pp'
　 (nm'＋mn')(pp')−(mm')(qp'＋pq')
＝ ────────────────
　　　　　　(mm')(pp')
　 (nm'pp'＋mn'pp')−(mm'qp'＋mm'pq')
＝ ─────────────────
　　　　　　　mm'pp'
　 (nm'pp'−mm'qp')＋(mn'pp'−mm'pq')
＝ ─────────────────
　　　　　　　　mpm'p'
　 (np−mq)m'p'＋mp(n'p'−m'q')
＝ ──────────────
　　　　　　　mpm'p'
　 np−mq　　n'p'−m'q'
＝ ─── ＋ ─────
　　 mp　　　　 m'p'
　　n　　 q　　　n'　　q'
＝i(─ − ─)＋i(─ − ─)
　　m　　 p　　　m'　　p'

2.8 “閉じた”拡張

2.8.1 (_R)Rと_Rの同型性
　（,≦,＋,×）から（_R,≦,＋,×）を導出したのと全く同じやり方で，(_R,≦,＋,×）から（(_R)R,≦,＋,×）を導出する。
　(_R)R の要素は_R×_R の要素の類である。（ｘ,ｙ)_R×_R が属する類を‘ｙ／ｘ’
　　　　 ｙ
あるいは ─ で表わす。
　　　　 ｘ
　_R×_R を座標平面の形に表現された─×─の部分とみなすとき，つぎのような直線（の部分）の各々が，(_R)R の要素になる：

　　　│
　　　│
　　　│
　　　│
　　　────────
　　　│　　　　　　│
　　　│　　　　　　│
　　─┼──────�ﾖ─────
　　　│　　　　　　　

　さて，

　　ｎ　ｑ　　ｎ×ｐ　　　　　　　　
　ｉ(─／─)＝ ───　　 (m,n,p,q)
　 　ｍ　ｐ　　ｍ×ｑ　　　　　　　　
で定義される写像ｉ:(_R)R ─→_R は，((_R)R,≦,＋,×）の（_R,≦,＋,×）の上への同型になっている^(註))。即ち，(_R,≦,＋,×）からの（(_R)R,≦,＋,×）の導出では，実質的に，新しい対象はつくられない。

（註） これの逆同型は，
ｘ　　　　　
ｊ(ｘ)＝ ─　　　　（ｘ_R）
１　　　　　
で定義される写像：_R ─→(_R)R　──但しここで，1─_R と見る。
　証明することは，以下のことである：
(1) ｊ＝ｉ-1 ；
(2) ｘ≦ｙ ｉ(ｘ)≦ｉ(ｙ)
ｉ(ｘ＋ｙ)＝ｉ(ｘ)＋ｉ(ｙ)
ｉ(ｘ×ｙ)＝ｉ(ｘ)×ｉ(ｙ)
　(1)の証明：
　　　　ｎ　ｑ　　　 ｎｐ　　ｎｐ　１
　ｊ(ｉ(─／─))＝ｊ(──)＝ ──／─
　　　　ｍ　ｐ　　　 ｍｑ　　ｍｑ　１
一方
ｎ　１ 　 ｎ 　 ｑ　ｎｐ
─×─ ＝ ─ ＝ ─×──
ｍ　１ 　 ｍ 　 ｐ　ｍｑ
より
ｎｐ　１　　ｎ　ｑ
──／─ ＝ ─／─
ｍｑ　１　　ｍ　ｐ
よって，ｊ─ｉは(_R)R の恒等写像。また，明らかに,ｉ─ｊは_R の恒等写像。
　(2)の証明：
　ここでは,ｉ(ｘ＋ｙ)＝ｉ(ｘ)＋ｉ(ｙ) だけを示すとしよう。
　 n　 q　 n'　q'　　　 np 　1 　n'p'　1
ｉ(─／─＋─／─))＝ｉ(──／─＋──／─）
　 m　 p　 m'　p'　　　 mq 　1 　m'q'　1
　　　 np 　n'p'　 1　　　 np 　n'p'
＝ｉ((──＋──)／─) ＝ ──＋──
　　　 mq 　m'q'　 1　　　 mq 　m'q'
　　 np　 1 　　　n'p'　1
＝ｉ(──／─)＋ｉ(──／─）
　　 mq　 1 　　　m'q'　1
　　 n　 q　　　 n'　q'
＝ｉ(─／─)＋ｉ(─／─)
　　 m　 p　　　 m'　p'

2.8.2 (_D)Dと_Dの同型性
　（,≦,＋,×）から（_D,≦,＋,×）を導出したのと全く同じやり方で，(_D,≦,＋,×）から（(_D)D,≦,＋,×）を導出する。
　(_D)Dの要素は_D×_D の要素の類である。（ｘ,ｙ)_D×_D が属する類を“ｙ−ｘ”で表わす。
　_D×_D を座標平面の形に表現された─×─の部分とみなすとき，つぎのように並ぶ点の各類が，(_D)D の要素になる：

　　　 ・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・
　　　 ・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・
　　　 ・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・
　　　 ・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・
　　　 ・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・
　　　─────┼───────
　　　 ・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・
　　　 ・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・
　　　 ・ ・ ・ │ ・ ・ ・ ・


　さて，
　ｉ((q−p)−(n−m)＝(n＋q)−(m＋p)
　　　　　　　　　　　　　(m,n,p,q)
で定義される写像ｉ:(_D)D ─→_D は，((_D)D,≦,＋,×）の（_D,≦,＋,×）の上への同型になっている^(註))。即ち，(_D,≦,＋,×）からの（(_D)D,≦,＋,×）の導出では，実質的に，新しい対象はつくられない。

（註） これの逆同型は，
ｊ(ｘ)＝ ｘ─０　　　（ｘ_D）
で定義される写像：_D ─→(_D)D。
　証明することは，以下のことである：
(1) ｊ＝ｉ-1 ；
(2) ｘ≦ｙ ｉ(ｘ)≦ｉ(ｙ)
ｉ(ｘ＋ｙ)＝ｉ(ｘ)＋ｉ(ｙ)
ｉ(ｘ×ｙ)＝ｉ(ｘ)×ｉ(ｙ)
　(1)の証明：
　ｊ(ｉ((n−m)−(q−p)))＝ｊ((n＋p)−(m＋q))
＝((n＋p)−(m＋q))−(1−1).
一方，
　　(n−m)＋(1−1)＝(n＋1)−(m＋1)＝n−m
　＝(n＋p＋q)−(m＋p＋q)
　＝(q−p)＋((n＋p)−(m＋q))
より
　((n＋p)−(m＋q))−(1−1)＝(n−m)−(q−p).
よって，ｊ─ｉは(_D)D の恒等写像。また，
　　ｉ(ｊ(n−m))＝ｉ((n−m)−(1−1))
　＝(n+1)−(m+1)＝n−m
となり,ｉ─ｊは_D の恒等写像。
　(2)の証明：
　ここでは,ｉ(ｘ＋ｙ)＝ｉ(ｘ)＋ｉ(ｙ) だけを示すとしよう。
　i(((n−m)−(q−p))＋((n'−m')−(q'−p')))＝i(((n−m)＋(n'−m'))−((q−p)＋(q'−p'))＝i(((n＋n')−(m＋m'))−((q＋q')−(p＋p')))＝((n＋n')＋(p＋p'))−((m＋m')＋(q＋q'))
＝((n＋p)＋(n'＋p'))−((m＋q)＋(m'＋q'))
＝((n＋p)−(m＋q))＋((n'＋p')−(m'＋q'))
＝i(((n−m)−(q−p))＋i((n'−m')−(q'−p')))

2.8.3 (((_R)_D)Rと_RDの同型性
　(_D)_R と(_R)_D の同型の証明は，このときのを_R に置き換えれば，そのまま((_R)_D)R と((_R)R)D の証明になる。一方，(_R)R と_R の同型は，((_R)R)D と(_R)_D の同型を導く。結局，((_R)_D)R と(_R)_D は同型。

2.8.4 ((_D)_R)Dと_RDの同型性
　(_D)_R と(_R)_D の同型は，((_D)_R)D と((_R)_D)Dの同型を導く。一方，(_D)D と_D の同型の証明は，このときのを_R に置き換えれば，そのまま((_R)_D)D と(_R)_D の証明になる。結局，((_D)_R)D と(_R)_D は同型。


3 量に随伴する数

3.1 数の契機としての量
　本章では，数を，量の系における《一つの要素による他の要素の生成》の主題化,《二つの要素の“比”》の主題化，あるいは《位の系列化》の主題化から起こるものとして解釈し，この場合の量と数の定式化を示す。

3.2 “量”の概念の領分
　いま，われわれの“時刻”と“時間”の形式について考えてみる。
　“時刻”のイメージは，線の上の点である。点は〈位〉で順序づけられており,〈位〉の順序が線を形成する。
　“時間”のイメージはこれとは異なる。要素は〈大きさ〉でイメージされている。そして，要素間に順序関係は考えられているが，それは〈位〉の順序ではなく,“大小”関係であり,“整列の線”のイメージもない。しかしそれでも,“時間”を〈位〉の整列のイメージで見ることはできる──〈大きさ〉の順序を〈位〉の順序と見なすことで。
　“時間”の系は,“時刻”の系を持ち出すことなく，一つの独立した系として記述できる。これに対し，時間の系を持ち出さずに“時刻”の系を記述することはできない。しかしつぎの意味では,“時間”は“時刻”から導出されるものである。
　即ち,“時間”は,〈位〉としての“時刻”に対する〈変位〉として解釈できる。
　そしてまた,“時間”は,〈位〉としての“時間”に対する〈変位〉としても解釈できる。〈位〉としての“時間”は〈変位〉としての“時間”を導出する。〈位〉としての“時間”を導入するとき，最初のイメージの“時間”は,〈変位〉としての“時間”として身分づく。
　〈変位〉としての“時間”(“時刻”に対するものとしても,〈位〉としての“時間”に対するものとしても）は，＋に関して群の構造で考えられる。これに対し，最初のイメージの“時間”は，半群である。したがって,“時間”に対する〈変位〉の解釈は，単なる見方の変更ではない。それは別の〈存在〉の導入を意味している。したがって,“時間”の記述は，半群と群の二つの解釈の併記になる。
　つぎに,“りんごの個数”を“量”として考えてみる。これは,“時刻”と“時間”（これにも，半群と群の二種類がある）のどちらと対照すべきか。
　何れの対照も，合理化できる。即ち,《“りんごの個数”は足し算や倍の算法に直接のる》とすることも,《“りんごの個数”は〈位〉であり，直接足し算や倍の算法にのるものではない》とすることもできる。前者の場合,“りんごの個数”は半群の構造で考えられる。後者の場合には,〈変位〉としての“りんごの個数”を導入し，これが足し算や倍の算法の舞台になると解釈することになる──そしてこの“りんごの個数”は群の構造で考えられる。
　最後に,“時刻”と対照された“りんごの個数”と“時刻”との違いと,“時間”と対照された“りんごの個数”と“時間”の違いには，同質のものが認められる。即ち,“離散”と“稠密”の違いである。
　われわれは,《以上述べてきたことのすべてに解釈を与え得る》ということを，われわれの“量”の概念の条件とする。

3.3 “量”の一般的形式
　われわれは,《“量”を一般的形式（§　　　）へと定式化していく》過程の中で,“量”に随伴するものとして“数”を示していく。
　ここで言う《“量”の一般的形式》の意味は,《われわれの“長さ”や“時間”や“時刻”を一様に取り込むことができる》である。
　“量”を一般的形式にのせようとするとき，或る“量”に対しては（あるいはむしろ，すべての“量”に対して）“方便”を用いることになる。
　例えば，和の算法を考えているわれわれの“時間”は，半群である。実際，われわれは“負の時間”というものを実体化して考えることはしない。この“時間”を“量”の一般的形式にのせるわれわれの“方便”はつぎのようになる(§3.5.6)：《和の内算法は時間の間にではなく,“時間の増･減”の間に定義される；そして，時間に対する時間の増･減の作用が,“時間の和の内算法”の見掛けをもたらしている》

3.4 “量”に対する三つの二分法
　“量”の概念を，われわれは,“上に非有界な全順序集合Ｑ”というところから出発するとしよう。
　つぎにわれわれは，量Ｑに対しつぎの三通りの二分法を考えることにする：
(1) (“量の和”と読まれるところの）内算法＋が定義されている／いない；
(2) 下に有界／非有界；
(3) 離散／稠密^(註1)．
（本論では，連続量^(註2)は考えない。）
　そこで，＋が定義されている場合といない場合のそれぞれにおいて,“量”Ｑのつぎの区分が考えられることになる：

　　　　　　　│　離散　│　稠密　
　　─────┼────┼────
　　下に有界　│　　　　│　　　　
　　─────┼────┼────
　　下に非有界│　　　　│　　　　


（註１） “離散”と“稠密”は《互いに他の逆》の関係にある概念ではない。ここの二分法は,“離散か稠密かのどちらか一方”と読むものとする。
　なお,“離散”とは，Ｑの全順序位相が離散ということ──即ち，各ＸＱに対し，{Ｘ｝がＸの近傍になるということ──であり,“稠密”とは，任意のＸ,ＹＱに対し，Ｘ＜Ｗ＜ＹとなるＷＱが存在するということである。
（註２） ここで言う“連続”は,“上[下]に有界な部分は上[下]限をもつ”の意味の数学的概念。

3.5 内算法＋が定義されている場合

3.5.1 （Ｑ,≦,＋）の条件
　（Ｑ,≦,＋）については，さらにつぎのように考える：
(1) 下に有界のときは順序可換半群で，下に非有界のときは順序可換群（このとき，Ｑの正元全体の集合｛Ｘ│Ｘ＞０｝をＱ+で表わす)。
(2) 離散のとき，Ｑは一つの元で生成される──但し以下の意味のこととして：
　下に有界のとき，或るＵＱが存在して，任意のＸＱがＵの累加で表わされる；
　下に非有界のとき，或るＵＱが存在して，任意のＸＱがＵか−Ｕかどちらかの累加で表わされる。
(3) 稠密のとき，
(3-1) (“等分可能性”：）任意のＸＱと自然数ｍ^(註1)に対し，Ｑの要素でそれのｍ回の累加がＸになるようなものが存在する。
(3-2) (“共約可能性”：）
　下に有界のとき，任意のＸ,ＹＱに対し，或るＵＱが存在して，Ｘ,Ｙの両方がＵの累加で表わされる（同じこととして^(註2)，或るＶＱが存在して，ＶがＸ,Ｙ両方の累加で表わされる）；
　下に非有界のとき，任意のＸ,ＹＱ+に対し，或るＵＱが存在して，Ｘ,ＹがＵの累加で表わされる（同じこととして，或るＶＱが存在して，ＶがＸ,Ｙ両方の累加で表わされる）．

（註１） 数を導入しようとしている現記述でこのように“自然数ｍ”を言うことは，循環論法ではない。数の導入は一つの言語系─の記述であるが,“自然数ｍ”は，─に属するのではなく，─を記述している言語(“─のメタ言語")に属している。
（註２） ＸがＵのｍ回の累加，ＹがＵのｎ回の累加のとき，Ｘのｎ回の累加とＹのｍ回の累加は等しい。逆に，Ｘのｎ回の累加とＹのｍ回の累加が等しいとき，ｍ回の累加がＸになるＵは,ｎ回累加するとＹになる。

3.5.2 “数の系”としての（Ｑ,≦,＋）
　“下に有界な離散量（Ｑ,≦,＋)"と“自然数の系（,≦,＋）”の概念は一致する。特に，下に有界な離散量は,（,≦,＋）──（,≦,＋,×）ではない──の実現ということになる。
　実際，Ｑの生成元をＵとし，各ＸＱに対しＸ＋ＵをＸの“後者”と定めるとき，Ｑはペアノの公理を満たし(§2.1.1)，＋は,“自然数の系”としてのＱにおいて定義される加法＋(§2.1.6)と一致する。また逆に，系（,≦,＋）は下に有界な離散量になっている(§2.1.8)。
　さらに,“下に非有界な離散量（Ｑ,≦,＋)",“下に有界な稠密量（Ｑ,≦,＋)",“下に非有界な稠密量（Ｑ,≦,＋)"の概念は，それぞれ，“数の系（_D,≦,＋)",“(_R,≦,＋)",“(_DR,≦,＋)"──（_D,≦,＋,×),（_R,≦,＋,×),（_DR,≦,＋,×）ではない──と一致する^(註))。
　そこで,（Ｑ,≦,＋）の分類はつぎのようになる：

　　　　　　　│　離散　│　稠密　
　　─────┼────┼────
　　下に有界　│　　　│　_R　　
　　─────┼────┼────
　　下に非有界│　_D 　│　_DR　

（註） (1) （_D,≦,＋）が下に非有界な離散量であることは，§2.5.5 で示されている。（_R,≦,＋),（_DR,≦,＋）については，“等分可能性”と“共約可能性”が満たされていることを示す。
(1-1) _Rの場合： (i)“等分可能性”：ｍ,ｎと，任意の自然数ｋに対し，ｎ／ｍはｎ／(ｍ×ｋ）のｋ回の累加。
　(ii)“共約可能性”：ｍ,ｎ，ｍ′,ｎ′に対し，ｎ／ｍ，ｎ′／ｍ′は，１／（ｍ×ｍ′）で共約される。
(1-2) _DRの場合： (i)“等分可能性”：ｘ,ｙ_Dでｘ≠０とする。任意の自然数ｋに対しｚをｘのｋ回の累加とするとき，ｙ／ｘはｙ／ｚのｋ回の累加。
　(ii)“共約可能性”：ｘ,ｙ,ｘ′,ｙ′_Dでｘ,ｘ′≠０とする。ｙ／ｘ，ｙ′／ｘ′は，１／（ｘ×ｘ′）で共約される。
(2-1) 下に非有界な離散量（Ｑ,≦,＋）と（_D,≦,＋）が同型であること：
　Ｑの生成元Ｕ＞０に対し，Ｕのｎ回の累加に１_Dのｎ回の累加，−Ｕのｎ回の累加に−１_Dのｎ回の累加，そして０Ｑに０_Dをそれぞれ対応させる写像ｉ：Ｑ─→_Dは,（Ｑ,≦,＋）の（_D,≦,＋）の上への同型になる。
(2-2) 下に有界な稠密量（Ｑ,≦,＋）と（_R,≦,＋）が同型であること：
　元Ｕ≠０を固定し，写像ｉ：Ｑ─→_Rをつぎのように定義する。即ち，各ＸＱに対し，ＵとＸを共約するＶをとり，ＵとＸがＶのそれぞれｍ,ｎ回の累加であるときに,ｉ(Ｘ）をｎ／ｍと定める。
　ｉ(Ｘ）はＶのとり方に依らない。実際，或るＶ′に対しＵとＸがＶ′のそれぞれｍ′,ｎ′回の累加であるとき，ｍ′回累加してＶになる元とｍ回累加してＶ′になる元は，ｍ×ｍ′回累加するとともにＵになるから，一致する。この元をＷとすると，ＸはＷのｍ′×ｎ回の累加であると同時に，ｍ×ｎ′回の累加でもある。よってｍ′×ｎ＝ｍ×ｎ′,即ちｎ／ｍ＝ｎ′／ｍ′。
　Ｑの元Ｘ,Ｙに対し，Ｕ,Ｘ,Ｙを共約する元がとれるからｉ(Ｘ)＝ｎ／ｍ,ｉ(Ｙ)＝ｎ′／ｍと書ける。そしてＸ＜Ｙのとき,ｎ＜ｎ′で，よってｉ(Ｘ)＜ｉ(Ｙ)。特に,ｉは１対１。
　また,ｎ／ｍ_Rに対し，ｍ回累加してＵになるもののｎ回の累加をＸとすれば,ｉ(Ｘ)＝ｎ／ｍ。よってｉは全射。
　最後に，Ｘ,ＹＱとＵ,Ｘ,Ｙを共約するＷに対し，Ｕ，Ｘ,ＹがそれぞれＷのｍ,ｎ,ｐ回の累加であるとき,ｉ(Ｘ＋Ｙ)＝（ｎ＋ｐ）／ｍ＝ｎ／ｍ＋ｐ／ｍ＝ｉ(Ｘ)＋ｉ(Ｙ)。
(2-3) 下に非有界な稠密量（Ｑ,≦,＋）と（_DR,≦,＋）が同型であること：
　下に有界な稠密量の場合とほぼ同様に証明される。

3.5.3 “数の系”の構成としての（Ｑ,≦,＋）の構成
　“下に有界な離散量（Ｑ,≦,＋)",“下に非有界な離散量（Ｑ,≦,＋)",“下に有界な稠密量（Ｑ,≦,＋)",“下に非有界な稠密量（Ｑ,≦,＋)”がそれぞれ数の系，_D，_R，_DR と同値な概念であることから，特に，の構成（§2.1.3)，からの_Dの構成（§2.5.1)，からの_Rの構成（§2.4.1)，_Dからの_DRの構成（§2.6.1）は，それぞれ“下に有界な離散量（Ｑ,≦,＋）の構成",“下に有界な離散量（Ｑ,≦,＋)からの下に非有界な離散量（Ｑ′,≦,＋）の構成",“下に有界な離散量（Ｑ,≦,＋)からの下に有界な稠密量（Ｑ′,≦,＋）の構成",“下に非有界な離散量（Ｑ,≦,＋)からの下に非有界な稠密量（Ｑ′,≦,＋）の構成”ということになる。
　逆に，量（Ｑ,≦,＋）の構成は，そのまま“数の構成”と読める。

3.5.4 離散量からの稠密量の構成と，稠密量からの離散量の導出
　“数の系”としての（Ｑ,≦,＋）の構成は，同時に，離散量からの稠密量の構成を示している。
　一方，稠密量からは離散量を導くことができる。またこのとき，離散量として稠密量の部分をとることができる。
　例えば，下に非有界な稠密量（Ｑ,≦,＋）に対しては，Ｑの要素Ｕ＞０を任意にとり,（Ｑ′,≦,＋),（Ｑ″,≦,＋）をそれぞれＵから生成される（Ｑ,≦,＋）の部分順序半群，部分順序群とすれば，これはそれぞれ，下に有界，非有界な離散量になっている。

3.5.5 “比”の系
　量（Ｑ,≦,＋）からは，“比”の系が導出される。“比”の系の考え方とそれの導出の仕方は，数の系N──（Ｑ,≦,＋）は数の系，_R，_D，_RDのいずれかと同型である（§3.5.2）──に対するNRの考え方とそれの導出の仕方（§2.2,§2.4,§2.6,§2.8.1,§2.8.3）と同じである。
　特に,（Ｑ,≦,＋）から導出される“比”の系は,（Ｑ,≦,＋）が下に有界であるときは_R，下に非有界であるときは_DRとなる。
　“比”ξに（Ｘ,Ｙ）Ｑ×Ｑが属するとき，ξをＹ／Ｘと表わす。

3.5.6 系（(Ｑ,≦,＋),(N,≦,＋,×),_×）
　量（Ｑ,≦,＋）とこれから導出される“比”の系（N,≦,＋,×）に対し，Ｑの要素Ｘに対するNの要素ξの(“倍")作用Ｘ_×ξを，つぎのように定義する：
(1) （Ｑ,≦,＋）が下に有界（即ち，半群）でξ＝Ｙ／Ｘのとき，Ｘ_×ξ＝Ｙ；
(2) （Ｑ,≦,＋）が下に非有界（即ち，群）のとき，
(2-1) Ｘ＝０のとき，Ｘ_×ξ＝０
(2-2) Ｘ≠０でξ＝Ｙ／Ｘのとき，Ｘ_×ξ＝Ｙ．
　作用_×は，Ｑが稠密であるとき，つねに定義されることになる。
　（Ｑ,≦,＋）と（N,≦,＋,×）が作用_×でつながっている系を,（(Ｑ,≦,＋),(N,≦,＋,×),_×）で表わす。

3.5.7 “差”の系
　量（Ｑ,≦,＋）からは，“差”の系（Ｄ,≦,＋）が導出される。“差”の系の考え方とそれの導出の仕方は，数の系N──（Ｑ,≦,＋）は数の系，_R，_D，_RDのいずれかと同型──に対するND の考え方とそれの導出の仕方(§2.2,§2.5,§2.7,§2.8.2,§2.8.4）と同じである。
　特に,（Ｄ,≦,＋）は,（Ｑ,≦,＋）が離散であるときは_Dと同型，稠密であるときは_RDと同型である。したがってまた,（Ｄ,≦,＋）は下に非有界な量であり，系（(Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×）として表現される。
　“差”ｘに（Ｘ,Ｙ）Ｑ×Ｑが属するとき，ｘをＸＹと表わす。
　関数ｉ：Ｑ─→Ｄ；Ｘ ─→Ｘ(Ｘ＋Ｘ) は，Ｑが下に有界のとき（Ｑ,≦,＋）の（Ｄ+,≦,＋）の上への同型であり，下に非有界のとき,（Ｑ,≦,＋）の（Ｄ,≦,＋）の上への同型である^(註1)。──ＸＱに対するｉ(Ｘ)Ｄの読みは“Ｘ増”，−ｉ(Ｘ)Ｄの読みは“Ｘ減”である。Ｄの＋は“増・減”の合成と読まれる。
　Ｑが下に有界のとき,ｉによってＱとＤ+を同一視し，Ｑが下に非有界のとき,ｉによってＱとＤを同一視する。このとき，
(1) Ｑが下に有界のとき，Ｘ＜ＹとなるＸ,ＹＱに対し，Ｘ＋ＸＹ＝Ｙ；
(2) Ｑが下に非有界のとき，任意のＸ,ＹＱに対し，Ｘ＋ＸＹ＝Ｙ^(註2)．

（註１） §2.5.6,§2.7.2,§2.8.2,§2.8.4.
（註２） Ｘ＋Ｚ＝Ｙとすると，Ｘ＋(Ｚ＋Ｚ)＝Ｙ＋ＺよりＸＹ＝Ｚ（Ｚ＋Ｚ)＝ｉ(Ｚ)＝Ｚ。

3.5.8 系（(Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(N,≦,＋,×),_×),_＋）
　量（Ｑ,≦,＋）とこれから導出される“差”の系（Ｄ,≦,＋）に対し，Ｑの要素Ｘに対するＤの要素ｘの作用（“併進”）Ｘ+ｘを，つぎのように定義する：
ｘ＝ＸＹとなるＹが存在しないときは定義されない；存在するときは，Ｘ+ｘ＝Ｙ．
Ｑが下に非有界のときは，作用+はつねに定義される。
　つぎのことが成立つ^(註))：
(1) (Ｘ+ｘ)+ｙが定義されればＸ+(ｘ＋ｙ）も定義されて，かつ
（Ｘ+ｘ)+ｙ＝Ｘ+(ｘ＋ｙ）；
(2) Ｘ+０＝Ｘ；
(3) Ｘ+ｘが定義されるとき，
ｘ＞０ Ｘ＜Ｘ+ｘ．
　また，Ｘ,ＹＱに対し，
Ｘ＋Ｙ＝Ｘ+ｉ(Ｙ)．
特に，Ｑの内算法＋は作用+で代行でき，不要とすることができる。
　いま,（Ｑ,≦）──（Ｑ,≦,＋）ではない──と（(Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×）が作用+でつながっている系を,（(Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×),_＋）で表現する。

（註） (1) （Ｘ+ｘ)+ｙが定義されるとき，ｘ＝ＸＹ，ｙ＝ＹＺとなるＹ，ＺＱが存在して,（Ｘ+ｘ)+ｙ＝Ｚ＝Ｘ+ＸＺ＝Ｘ+(ｘ＋ｙ)。
(2) Ｘ+０＝Ｘ+ＸＸ＝Ｘ。
(3) Ｘ+ｘが定義されるとき，ｘ＝ＸＹと書けて，Ｘ+ｘ＝Ｙ。また，ｘ＞０はＸ＜Ｙと同値。

3.6 内算法＋が定義されていない場合

3.6.1 （Ｑ,≦）の条件
　Ｑが離散の場合には，つぎの何れかであるとする：
(1) 下に有界。このとき
　(1-1) “ペアノの公理”を満たす．
　(1-2) Ｘ＜（Ｘの後者）.
(2) 下に非有界。このとき
　(2-1) （“ペアノの公理”に準ずる）つぎの条件を満たす：
　 1°双射^(註))ｆ:Ｑ─→Ｑがとれる──ＸＱに対しｆ(Ｘ）をＸの後者と呼ぶ；
　 2°Ｑの部分集合Ｑ′は，つぎの条件を満たすときＱと一致している：《ＸＱ′に対し，Ｘの後者も，Ｘを後者とするＹＱもＱ′に属する》．
　(2-2) Ｘ＜（Ｘの後者）．
　これらの条件は，下に有界なＱと下に非有界なＱのそれぞれのイメージ

　　　　○→○→○→○→････
････─→○→○→○→○→････

を述べたものである(§2.1.2参照)。
　Ｑが稠密のときには，つぎの何れかであるとする：
(1) 下に有界。このとき，群構造をもつ稠密量（Ｄ,≦,＋）と,（Ｑ,≦）の（Ｄ+,≦）の上への順序同型ｉがとれる。
(2) 下に非有界。このとき，群構造をもつ稠密量（Ｄ,≦,＋）と,（Ｑ,≦）の（Ｄ,≦）の上への順序同型ｉがとれる。

（註） 関数ｆ：Ｘ─→Ｙが“双射”（“全単射”とも言う）であるとは，それが全射（各ｙＹに対しｆ(ｘ)＝ｙとなるｘＸが存在する）かつ単射（ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ′)ならばｘ＝ｘ′)であること。

3.6.2 “差”の系
　（Ｑ,≦）から“差”の系（(Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×）を導出する。

3.6.2.1 （Ｑ,≦）が離散の場合
　各ＸＱにそれの後者を対応させる関数ｆ:Ｑ─→Ｑのｎ回の合成ｆn に対し，ｆn（Ｘ)＝Ｙのことを“ＹはＸから上にｎ”，“ＸはＹから下にｎ”と言い表わすことにする。
　積集合Ｑ×Ｑの上の同値関係（Ｘ,Ｙ)〜(Ｘ′,Ｙ′)を，つぎの条件で定義する：
(1) Ｘ＜Ｙ，Ｘ′＜Ｙ′,かつ或る自然数ｎに対しＹ，Ｙ′はそれぞれＸ，Ｘ′から上にｎ；
(2) Ｘ＞Ｙ，Ｘ′＞Ｙ′,かつ或る自然数ｎに対しＹ，Ｙ′はそれぞれＸ，Ｘ′から下にｎ；
(3) Ｘ＝Ｙ，Ｘ′＝Ｙ′．
　〜によるＱ×Ｑの商集合をＤで表わし,（Ｘ,Ｙ）Ｑ×Ｑが属する同値類をＸＹで表わす。また，ＸＹを，ＹがＸから上にｎのとき“上にｎ”，下にｎのとき“下にｎ”，Ｘ＝Ｙのとき“零”と，それぞれ言い表わす。
　Ｄの上の内算法ｘ＋ｙを，つぎのように定義する：
(1) ｘ＋ｙ＝ｙ＋ｘ；
(2) ｘが零のとき，ｘ＋ｙ＝ｙ；
(3) ｘが上にｍのとき
(3-1) ｙが上にｎのとき，ｘ＋ｙは上にｍ＋ｎ；
(3-2) ｙが下にｎのとき，
(3-2-1) ｍ＞ｎならばｘ＋ｙは上にｍ−ｎ；
(3-2-2) ｍ＝ｎならばｘ＋ｙは零；
(3-2-3) ｍ＜ｎならばｘ＋ｙは下にｎ−ｍ．
(4) ｘが下にｍでｙが下にｎのとき，ｘ＋ｙは下にｍ＋ｎ．
　Ｄは＋に関して可換群となる──ＸＸの形の元（即ち，零）が零元；ＸＹに対しＹＸがこれの対称元，あるいは，上にｎと下にｎは互いに他の対称元。
　Ｄの上の全順序関係ｘ≦ｙを，つぎのように定義される関係ｘ＜ｙに対する“ｘ＝ｙあるいはｘ＜ｙ”として，定義できる：
(1) ｘ＜ｙならば−ｘ＞−ｙ；
(1) ｘが零のとき，或る自然数ｎに対し，ｙは上にｎ；
(2) ｘが上にｍのとき，或る自然数ｎ＞ｍに対してｙは上にｎ；
　Ｄは＋と≦に関して，離散な順序群になっている。特に，離散量（(Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×）になっている。

3.6.2.2 （Ｑ,≦）が稠密の場合
　（Ｑ,≦）は，群構造をもつ離散量（(Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×）と,（Ｑ,≦）の（Ｄ,≦）の中への埋め込みｉを随伴する──但し,ｉは,（Ｑ,≦）が下に有界のときは（Ｄ+,≦）の上への同型で，下に非有界のときは（Ｄ,≦）の上への同型である(§3.6.1)。
　いま，Ｑ×Ｑの上の同値関係（Ｘ,Ｙ)〜(Ｘ′,Ｙ′)を，つぎの条件で定義する：
（−ｉ(Ｘ))＋ｉ(Ｙ)＝(−ｉ(Ｘ′))＋ｉ(Ｙ′)
　〜によるＱ×Ｑの商集合をＤで表わし,（Ｘ,Ｙ）Ｑ×Ｑの属する同値類をＸＹで表わす。
　ＤとＤの間の１対１対応φ:Ｄ─→Ｄが，
φ(ＸＹ)＝(−ｉ(Ｘ))＋ｉ(Ｙ）
と定義することで得られる^(註1)。いまφによってＤとＤを同一視する。このとき，つぎのことが成り立つ^(註2)：
−ＸＹ＝ＹＸ；
ＸＸ＝０；
ＸＹ＞０ Ｘ＜Ｙ．

（註１） Ｄの定義から，φは well-defined でかつ１対１。また，ｘＤ+とＸＱに対し，Ｙ＝ｉ-1（ｉ(Ｘ)＋ｘ）とおくと，φ(ＸＹ)＝(−ｉ(Ｘ))＋ｉ(Ｙ)＝(−ｉ(Ｘ))＋ｉ(Ｘ)＋ｘ＝ｘ，φ(ＹＸ)＝(−ｉ(Ｙ))＋ｉ(Ｘ)＝(−ｉ(Ｘ))＋(−ｘ)＋ｉ(Ｘ)＝−ｘ。またφ(ＸＸ)＝０。よって，φは全射。
（註２） −ＸＹ＝−((−ｉ(Ｘ))＋ｉ(Ｙ))＝(−ｉ(Ｙ))＋ｉ(Ｘ)＝ＹＸ。ＸＸ＝(−ｉ(Ｘ))＋ｉ(Ｘ)＝０。ＸＹ＝(−ｉ(Ｘ))＋ｉ(Ｙ)＞０はｉ(Ｘ)＜ｉ(Ｙ）と同値，そして後者はＸ＜Ｙと同値。

3.6.3 系（(Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×),_＋）
　量（Ｑ,≦）とこれから導出される“差”の系（(Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×）に対し，Ｑの要素Ｘに対するＤの要素ｘの作用（“併進”）Ｘ+ｘを，§3.5.8 のときと同様に定義する。　（Ｑ,≦）と（(Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×）が作用+でつながっている系を,（(Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×),_＋）で表現する。

3.7 量の一般形（(Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×),_＋）
　これまでに登場して来た“量の系”のどれにら対しても,（(Ｑ,≦),((Ｄ,≦,＋),(_DR,≦,＋,×),_×),_＋）の解釈が立つ。そこで，これを量の一般形と定める。