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線型写像による対応先ベクトルの計算が,「行列の作用」に
線型空間Ｅ, Ｆ に対する関数ｆ: Ｅ → Ｆ は，Ｅの基底 {
ｕ
1
,
ｕ
2
} に対するｆ(
ｕ
1
) とｆ(
ｕ
2
) で決まってしまう。
特に， {
ｖ
1
,
ｖ
2
} をＦの基底とし
ｆ(
ｕ
1
) ＝
ｖ
1
×
ａ
11
＋
ｖ
2
×
ａ
12
ｆ(
ｕ
2
) ＝
ｖ
1
×
ａ
21
＋
ｖ
2
×
ａ
22
であるとしたときの４つの数 ａ
11
, ａ
12
, ａ
21
, ａ
22
で，つぎのように決まる：
f(
ｕ
1
×
ｎ
1
＋
ｕ
2
×
ｎ
2
)
＝
ｖ
1
×
( ｎ
1
× ａ
11
＋ ｎ
2
× ａ
21
)
＋
ｖ
2
×
( ｎ
1
× ａ
12
＋ ｎ
2
× ａ
22
) )
そこで，線型写像ｆによる対応先ベクトルの計算を，つぎのように定めればよいことになる：
(ｎ
1
, ｎ
2
)
＝
( ｎ
1
× ａ
11
＋ ｎ
2
× ａ
21
, ｎ
1
× ａ
12
＋ ｎ
2
× ａ
22
)
これは，つぎの図式が可換であるように「行列の作用」を定義していることになる：
