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「比例関数」から「線型写像」へ

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• “線型写像”は,“比例関数”の概念の拡張です。
  
  　比例関数は，Kが実数体あるいは有理数体であるときの１次元線型空間（D,K),(D',K）に対する関数f:D─→D'で，条件：

f(x_×ξ)＝f(x)_×ξ^(註1)

を満たすもの，というように定式化できます。実際，比例関数が量と量の間で考えられているとき，量は実数体あるいは有理数体上の１次元線型空間として効いています。

• “比例関数”の“線型写像”への拡張は，つぎの二つの一般化です：

係数体 ( → K ) 次元　 ( 1 → n )

• 次元の一般化で,“単位”は“基底”の概念へと拡張されます。
  
  
• 「比例関数 → 線型写像」の拡張において“線型写像”に“比例関数”から継承させるものは，つぎの二つです：

比例関数の形式としての　f(x×ξ)＝f(x)×ξ 比例関数の価値としての 《単位の写る先がわかれば全ての要素の写る先がわかる》

• “線型写像”が継承しなければならないのは

《基底の要素の写る先がわかれば全ての要素の写る先がわかる》

です。これは，形式

f(x_×ξ)＝f(x)_×ξ

の他にさらに形式

f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

を加えることで，実現されます。



注意：	この条件の追加は，比例関数から“線型写像”への自然な拡張を損なうものではありません。 実際，比例関数の場合, "f(x＋y)＝f(x)＋f(y)" は "f(x×ξ)＝f(x)×ξ" の含意になっています(註2)。



• こうして,“比例関数”の拡張としての“線型写像”は，条件

f(x_×ξ)＝f(x)_×ξ
f(x＋y)＝f(x)＋f(y)

を満たす写像f:D─→D'として定義されることになります。

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（註1）	小学校算数では，これを“一方が２倍，３倍，････になるときもう一方も２倍，３倍，････になる”という言い回しで指導しています。
（註2）	x＝u×ξ，y＝u×ηとすると，

f(x＋y)＝f(u×(ξ＋η)) ＝f(u)×(ξ＋η) ＝f(u)×ξ＋f(u)×η ＝f(u×ξ)＋f(u×η) ＝f(x)＋f(y)