9.3.2 数のテンソル積
数の系（Ｎ,＋,×）に対し，Ｎ×Ｎ上の同値関係〜をつぎのように定義する：
（ξ1,ξ2)〜(η1,η2）とは，（ξ1,ξ2), (η1,η2）
Ｎ*×Ｎ* であるか，そうでなければ，ξ1×ξ2＝η1×η2 のこと．
そして，商集合（Ｎ×Ｎ)／〜 をＮ
Ｎと書き，（ξ1,ξ2）∈Ｎ×Ｎを代表元とする同値類をξ1
ξ2と書く（“テンソル積")。また，Ｎ*≠Ｎのとき，(Ｎ×Ｎ)＼(Ｎ*×Ｎ*）は一つの同値類であるが，これを０で表わす。
ＮＮにおける内算法（加法）＋を，つぎのように定義する(註1)：
１ξ＋１η＝１(ξ＋η)
また，外算法×：(ＮＮ)×Ｎ ─→ ＮＮをつぎのように定義する(註2)：
(１ξ)×η＝１(ξ×η)
このとき，系（(ＮＮ,＋),(Ｎ,＋,×),×）は量の系になっている──実際，同型対応
(ｉ,id)：((Ｎ,＋),(Ｎ,＋,×),×）─→ ((ＮＮ,＋),(Ｎ,＋,×),×)
が，
ｉ(ξ)＝１ξ
で与えられる(註3)。
（註１） ＮＮの任意の二要素ξ1ξ2，η1η2 に対し，定義に従えば，ξ1ξ2＋η1η2＝１(ξ1×ξ2)＋１(η1×η2)＝１(ξ1×ξ2＋η1×η2)。
いま，ξ1ξ2＝ξ1′ξ2′，η1η2＝η1′η2′ とすると，ξ1×ξ2＋η1×η2＝ξ1′×ξ2′＋η1′×η2′。よって，ＮＮにおける＋の定義は，well-defined。
（註２） ＮＮの任意の要素ξ1ξ2 とη∈Ｎに対し，定義に従えば，(ξ1ξ2)×η＝(１(ξ1×ξ2))×η＝１(ξ1×ξ2×η)。
いま，ξ1ξ2＝ξ1′ξ2′ とすると，ξ1×ξ2×η＝ξ1′×ξ2′×η。よって，×の定義は，well-defined。
（註３） (1) 先ず，ｉはＮのＮＮの上への１対１対応である。実際，ＮＮの任意の要素ξηに対し，ξη＝１(ξ×η)＝ｉ(ξ×η)。また，ｉ(ξ)＝ｉ(η) のとき，１ξ＝１η。ξ∈Ｎ*ならξ＝１×ξ＝１×η＝η。また，ξ＝０ならη＝０＝ξ。
(2) ｉ(ξ＋η)＝１(ξ＋η)＝１ξ＋１η＝ｉ(ξ)＋ｉ(η)。
(3) ｉ(ξ×η)＝１(ξ×η)＝(１ξ)×η＝ｉ(ξ)×η。