Up 白玉赤玉の入った箱を振る 作成: 2022-06-27
更新: 2024-07-29

    白玉赤玉をそれぞれ多数，箱に入れる。
    そして箱を振る。
    降り続けていると，白赤が均等に混じった状態に至り，その後偏った分布に戻るということは無い。


    このことは，「均等な分布の確率は高く，偏った分布の確率は低い」で説明される。
    では，どうして「均等な分布の確率は高く，偏った分布の確率は低い」のか？
    これは「場合の数」で説明される。

    「場合の数」とは：
        ＜分布 \( A \) になる球の配置＞の数 \( n(A) \)
    \( A \) が均等な分布のとき \( n(A) \) は大きく，\( A \) が偏った分布のとき \( n(A) \) は小さい。
    これが，「均等な分布の確率は高く，偏った分布の確率は低い」の中身である。

    「場合の数」は，「要素の組み合わせの数」として計算される。
    ここでの白玉赤玉の例だと，分布 \( A \) になる球の配置を，球の組み合わせに表現して，組み合わせの数を計算する。


    計算では，条件をいろいろ設定することになる。
    特に，「偏り」をどう表現するかが，考えどころになる。
    簡単な表現を用いれば，計算が簡単になる。
    ──「簡単な表現」とは，若干の非現実的・曖昧な点は目をつぶるということである。


    赤玉白玉の個数を，同数の \( N \) とする。
    そして，箱の中の白玉赤玉の偏りを，
      ＜箱の左半分にある白玉の数 \( n \)＞
    で表現する。
    偏りの最大は \( n \) が 0 と \( N \) のとき，そして偏りの最小 (均質) は \( N/2 \) のとき，というわけである。

    箱の左半分にある白玉の数が \( n \) となる「場合の数」を，\( W( n ) \) で表そう。
    箱の左半分では，白玉が \( n \) 個のとき，赤玉は \( N - n \) 個。
    よって \( W( n ) \) は，白玉 \( N \) 個から \( n \) 個をとる組み合わせの数と，赤玉 \( N \) 個から \( N - n \) 個をとる組み合わせの数の積になる：
      \[ W( n ) =\ _{N} C_{n} \times _{N} C_{N - n} =\ ( _{N} C_{n} )^2 \]

    W( n ) は，とんでもなく大きな数になる。 「場合の数」として捉えるには，このままでは不便である。 そこで，大きな数を扱うときの常套を用いる。 即ち，対数 (桁数) で表現することにする：
      \[ S( n ) =\ log\ W( n ) \]

    S( n ) の表現のよいところは，これのグラフまで書けることである。
    やってみよう。
      \[ \begin{align} S( n ) &=\ log\ ( _{N} C_{n} )^2 \\ &=\ 2\ log\ \frac{ N! }{ n! (N - n )! } \\ &=\ 2\ ( log\ N! - log n! - log (N - n )! ) \\ \end{align} \]
    スターリングの近似公式を用いて
      \[ \begin{align} \frac{ S( n ) }{ 2 } &=\ ( N\ log\ N - N ) \\ &\quad - ( n\ log\ n - n ) \\ &\quad- ( (N - n )\ log\ (N - n ) - (N - n ) ) \\ \\ &=\ N\ log\ N - n\ log\ n - (N - n )\ log\ (N - n ) \\ \end{align} \]
    さらに変形して
      \[ \begin{align} \quad &=\ - n\ log\ n + n\ log\ N \\ &\quad - (N - n )\ log\ (N - n ) + (N - n )\ log\ N \\ \\ \quad &=\ ( - n )\ ( log\ n -\ log\ N ) \\ &\quad - (N - n )\ ( log\ (N - n ) - \ log\ N ) \\ \\ \quad &=\ ( - n )\ log\ \frac{ n }{ N } - (N - n )\ \bigl( log\ ( 1 - \frac{ n }{ N } \bigr) \\ \\ \quad &=\ - N \bigl(\ \frac{ n }{ N }\ log\ \frac{ n }{ N } + \bigl(1 - \frac{ n }{ N } \bigr)\ log\ ( 1 - \frac{ n }{ N } \bigr) \bigr) \end{align} \]
    ここで
      \[ p( n )\ =\ \frac{ n }{ N } \]
    とおき，\( S( n ) / 2 \) を改めて \( S(n) \) と措くと，
      \[ S( n ) = - N\ (\ p( n )\ log\ p( n ) + ( 1 - p( n ) )\ log\ ( 1 - p( n )\ ) \]

    こうして，\( S \) のグラフは
      \[ y = x\ log\ x + ( 1 - x )\ log\ ( 1 - x ) \]
    のグラフがこれの雛形になる。


    \( y = x\ log\ x + ( 1 - x )\ log\ ( 1 - x ) \) のグラフは，つぎのようになる：
\( y = x\ log\ x + ( 1 - x )\ log\ ( 1 - x ) \) のグラフ

    そこで，つぎが \( S \) のグラフ：


    グラフは \( n = N / 2 \) を軸にしてで左右対称であり，そして \( n = 0 \) から \( n = N / 2 \) までの区間が，
      「箱を降り続けていると，白赤が均等に混じった状態に至り，
      　その後偏った分布に戻るということは無い      」
    に対応している。
    そこで，つぎを \( S \) のグラフにする：

    白玉の数ｎは，＜乱雑さ＞──＜偏り最大＞から＜偏りが無い (均質)＞ まで──の表現である。
    そして \( S \) は，乱雑さｎ に，ｎ を現す＜球の状態＞の数 (それの桁数) を対応させる関数である。
    よってこのグラフの軸の呼び方は：
      横軸は，＜乱雑さ＞
      縦軸は，＜状態数＞


    \( S \) のグラフに特徴的なのは，傾きの変化のしかたである。
    ＜乱雑さ＞の増大に対し傾きは単調減少し，＜乱雑さ＞の最大で０になる。
    この傾きは，何と呼ぶのがよいか？

    ここで，統計力学の「エントロピー」を引くことになる。
    実際，\( S \) は，「エントロピー関数」と呼ばれるものになっている。


    エントロピー理論では，＜乱雑さ＞と＜状態数＞を，それぞれ「熱エネルギー」「エントロピー」と呼ぶ。
    　註： ひとは「エントロピー」を＜乱雑さ＞のことだと思っているが，＜乱雑さ＞に対応するのは「熱エネルギー」である。

    ＜乱雑さ＞に「熱エネルギー」のことばを与える理由は？
    エントロピー理論は，「系は乱雑さ最大へ不可逆的に進み，そして乱雑さ最大は系の死である」を存在論にする。
    そして，死へと不可逆的に進む形を，「熱エネルギーに変わっていく」にする。，

    この「熱エネルギーに変わる」は，「そのかわりに，残った方は温度が下がる」である。
    こうして，乱雑さが増すことは温度が下がり熱エネルギーが増すことであり，乱雑さが最大になることは温度がゼロになり熱エネルギー最大になることである。
    そしてこのような「温度」に当てはまるものを \( S \) のグラフに見出そうとすれば，それは「傾き」( \( S \) の変化率) だとなるわけである。

    \( S \) の変化率は： \[ \begin{align} \frac{ dS }{ dp } &= \frac{ d }{ dp }\ ( - N\ (\ p\ log\ p + ( 1 - p )\ log\ ( 1 - p ) ) ) \\ &= - N \bigl(\ log\ p + p \frac{ 1 }{ p } + (-1)\ log\ ( 1 - p ) ) + ( 1 - p ) \frac{ - 1 }{ 1 - p }\ \bigr) \\ &= - N\ (\ log\ p +1 - log\ ( 1 - p ) - 1\ ) \\ &= - N (\ log\ p - log\ ( 1 - p ) ) \\ &= N (\ log\ ( 1 - p ) - log\ p ) \\ &= N \bigl(\ log\ \frac{ 1 - p }{ p } ) \bigr) \\ \end{align} \] \[ \frac{ 1 - p(n) }{ p(n) } = \bigl( 1 - \frac{ n }{ N } \bigr) / \bigl( \frac{ n }{ N } \bigr) = \frac{ N - n }{ n } \] \( ( N - n ) / n \) は，「箱の左半分での，白球の個数に対する赤玉の個数の比」である。

かくして，白玉赤玉の入った箱は，色の偏りが導く「温度」をもつことになる。
──「色が偏っているほど温度が高く，色が均等のとき温度がゼロ」